깨다 is waking, and the -고 clause says what came before it: 오빠 지금 40분 자고 깼거든요, 아침에 이거 먹고 싶어 가지고 깼다!, 그래서 무난하게 하고 깬 다음에. It also covers a dream ending badly (꿈에 아들이 자꾸 나오고 깨면 기분이 나쁘다는 거야) and waking too easily from a light sleep (얕은 잠이 들었을 때 인지하고 깨버려요). One line uses the other 깨다, clearing a stage with time to spare: 겨우... 12초 남기고 깼습니다.